Mathematiker haben endlich eine schwer fassbare „Einstein“-Fliese entdeckt

Eine 13-seitige Form, die als „der Hut“ bekannt ist, lässt Mathematiker ihre Mützen kippen.

Es ist das erste echte Beispiel eines „Einsteins“, einer einzelnen Form, die eine spezielle Kachelung einer Ebene bildet: Wie eine Bodenfliese im Badezimmer kann sie eine gesamte Oberfläche ohne Lücken oder Überlappungen bedecken, aber nur mit einem Muster, das sich nie wiederholt.

„Alle sind erstaunt und erfreut, beide“, sagt die Mathematikerin Marjorie Senechal vom Smith College in Northampton, Mass., die nicht an der Entdeckung beteiligt war. Mathematiker hatten ein halbes Jahrhundert lang nach einer solchen Form gesucht. „Es war nicht einmal klar, dass so etwas existieren könnte“, sagt Senechal.

Obwohl der Name „Einstein“ den ikonischen Physiker heraufbeschwört, kommt er aus dem Deutschen ein Stein, was „ein Stein“ bedeutet und sich auf die einzelne Kachel bezieht. Der Einstein sitzt in einem seltsamen Fegefeuer zwischen Ordnung und Unordnung. Obwohl die Kacheln sauber zusammenpassen und eine unendliche Ebene bedecken können, sind sie aperiodisch, was bedeutet, dass sie kein sich wiederholendes Muster bilden können.

Bei einem periodischen Muster ist es möglich, die Fliesen zu verschieben und sie perfekt an ihre vorherige Anordnung anzupassen. Ein unendliches Schachbrett beispielsweise sieht genauso aus, wenn man die Reihen um zwei schiebt. Während es möglich ist, andere einzelne Kacheln in Mustern anzuordnen, die nicht periodisch sind, ist der Hut etwas Besonderes, da er auf keinen Fall ein periodisches Muster erzeugen kann.

Von David Smith, einem Laien-Mathematiker, der sich selbst als „phantasievollen Gestaltenbastler“ bezeichnet, identifiziert und in einem am 20. März online auf arXiv.org veröffentlichten Artikel berichtet, ist der Hut ein Polydrachen – ein Haufen kleinerer Drachenformen, die aneinander haften. Das ist eine Art von Form, die bei der Suche nach Einsteinen nicht genau untersucht wurde, sagt Chaim Goodman-Strauss vom National Museum of Mathematics in New York City, einer aus einer Gruppe ausgebildeter Mathematiker und Informatiker, mit denen Smith zusammengearbeitet hat, um zu studieren der Hut.

Es ist ein überraschend einfaches Polygon. Wenn Sie vor dieser Arbeit gefragt hätten, wie ein Einstein aussehen würde, sagte Goodman-Strauss: „Ich hätte irgendein verrücktes, verschnörkeltes, fieses Ding gezeichnet.“

Mathematiker kannten zuvor sich nicht wiederholende Kacheln, die mehrere Kacheln unterschiedlicher Form umfassten. In den 1970er Jahren entdeckte der Mathematiker Roger Penrose, dass nur zwei verschiedene Formen eine Kachelung bildeten, die nicht periodisch ist (SN: 1.3.07). Von da an: „Es war natürlich, sich zu fragen, ob es eine einzelne Kachel geben könnte, die dies tut?“ sagt der Mathematiker Casey Mann von der University of Washington Bothell, der nicht an der Forschung beteiligt war. Der ist endlich gefunden, „der ist riesig“.

Andere Formen sind nahe gekommen. Taylor-Socolar-Kacheln sind aperiodisch, aber sie sind ein Durcheinander aus mehreren getrennten Teilen – nicht das, was die meisten Leute als eine einzelne Kachel betrachten. „Das ist die erste Lösung ohne Sternchen“, sagt der Mathematiker Michaël Rao vom CNRS und der École Normale Supérieure de Lyon in Frankreich.

Smith und Kollegen bewiesen auf zweierlei Weise, dass die Fliese ein Einstein war. Einer kam von der Beobachtung, dass sich die Hüte zu größeren Clustern anordnen, die Metatiles genannt werden. Diese Metatiles ordnen sich dann in noch größeren Supertiles und so weiter auf unbestimmte Zeit in einer Art hierarchischer Struktur an, die für nicht periodische Kacheln üblich ist. Dieser Ansatz zeigte, dass die Hutfliesen eine ganze unendliche Ebene füllen könnten und dass sich ihr Muster nicht wiederholen würde.

Der zweite Beweis stützte sich auf die Tatsache, dass der Hut Teil eines Kontinuums von Formen ist: Durch allmähliche Änderung der relativen Längen der Hutseiten konnten die Mathematiker eine Familie von Kacheln bilden, die dasselbe sich nicht wiederholende Muster annehmen können. Durch die Betrachtung der relativen Größen und Formen der Kacheln an den Enden dieser Familie – eine hat die Form eines Chevrons und die andere erinnert an einen Kometen – konnte das Team zeigen, dass der Hut nicht in einem periodischen Muster angeordnet werden konnte.

Auch wenn das Papier noch einem Peer-Review unterzogen werden muss, stimmen die für diesen Artikel befragten Experten darin überein, dass das Ergebnis wahrscheinlich einer eingehenden Prüfung standhalten wird.

Sich nicht wiederholende Muster können reale Verbindungen haben. Der Materialwissenschaftler Dan Shechtman erhielt 2011 den Nobelpreis für Chemie für seine Entdeckung von Quasikristallen, Materialien mit Atomen, die in einer geordneten Struktur angeordnet sind, die sich nie wiederholt und oft als Analoga zu Penroses Fliesen beschrieben wird (SN: 10.5.11). Die neue aperiodische Kachel könnte weitere Untersuchungen in der Materialwissenschaft anregen, sagt Senechal.

Ähnliche Kacheln haben Künstler inspiriert, und der Hut scheint keine Ausnahme zu sein. Bereits die Kacheln wurden künstlerisch als gerendert lächelnde Schildkröten und ein Durcheinander von Hemden und Mützen. Vermutlich ist es nur eine Frage der Zeit, bis jemand Hutplättchen auf einen Hut legt.

Und der Hut ist nicht das Ende. Forscher sollten die Jagd nach weiteren Einsteinen fortsetzen, sagt der Informatiker Craig Kaplan von der University of Waterloo in Kanada, einer der Mitautoren der Studie. „Jetzt, wo wir die Tür aufgeschlossen haben, werden hoffentlich andere neue Formen hinzukommen.“