Hier ist ein Blick in die Mathematik der Schwarzen Löcher

Schwarze Löcher existieren in unserem Universum. Das ist heute allgemein akzeptiert. Physiker haben die Röntgenstrahlen entdeckt, die bei der Nahrungsaufnahme von Schwarzen Löchern ausgesandt werden, die Gravitationswellen von Kollisionen mit Schwarzen Löchern analysiert und sogar zwei dieser Giganten abgebildet.

Aber die Mathematikerin Elena Giorgi von der Columbia University untersucht Schwarze Löcher auf andere Weise. „Schwarze Löcher sind mathematische Lösungen der Einstein-Gleichung“, sagt Giorgi – die „Master-Gleichung“, die die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie bildet.

Sie und andere Mathematiker versuchen, Theoreme über diese Lösungen zu beweisen und auf andere Weise die Mathematik der Allgemeinen Relativitätstheorie zu untersuchen. Ihr Ziel: Ungeahnte Wahrheiten über Schwarze Löcher ans Licht bringen oder bestehende Verdächtigungen verifizieren.

Innerhalb der Allgemeinen Relativitätstheorie „kann man saubere mathematische Aussagen verstehen und diese Aussagen studieren, und sie können innerhalb dieser Theorie eine eindeutige Antwort geben“, sagt Christoph Kehle, Mathematiker am Institut für Theoretische Studien der ETH Zürich. Mathematiker können Gleichungen lösen, die sich auf Fragen zur Entstehung, Entwicklung und Stabilität von Schwarzen Löchern beziehen.

Letztes Jahr haben Giorgi und Kollegen in einem online auf arXiv.org veröffentlichten Artikel eine seit langem bestehende mathematische Frage zur Stabilität von Schwarzen Löchern geklärt. Ein stabiles Schwarzes Loch, mathematisch gesprochen, ist eines, das sich, wenn es gestoßen, angestoßen oder anderweitig gestört wird, schließlich wieder in ein Schwarzes Loch verwandelt. Wie ein Gummiband, das gedehnt und dann losgelassen wurde, zerreißt, explodiert oder hört das Schwarze Loch nicht auf zu existieren, sondern kehrt zu so etwas wie seinem früheren Selbst zurück.

Schwarze Löcher scheinen physikalisch stabil zu sein – sonst könnten sie im Universum nicht bestehen – aber es mathematisch zu beweisen ist eine andere Sache.

Und eine notwendige Leistung, sagt Giorgi. Wenn Schwarze Löcher stabil sind, wie Forscher vermuten, dann sollte die Mathematik, die sie beschreibt, diese Stabilität besser widerspiegeln. Wenn nicht, stimmt etwas mit der zugrunde liegenden Theorie nicht.

„Bei meiner Arbeit“, sagt Giorgi, „geht es hauptsächlich darum, Dinge zu beweisen, von denen wir bereits erwartet hatten, dass sie wahr sind.“

Die Mathematik hat in der Geschichte der Schwarzen Löcher große Beiträge geleistet. 1916 veröffentlichte Karl Schwarzschild eine Lösung für Einsteins Gleichungen für die allgemeine Relativitätstheorie in der Nähe einer einzelnen sphärischen Masse. Die Mathematik zeigte eine Grenze, wie klein eine Masse zusammengedrückt werden konnte, ein frühes Anzeichen für Schwarze Löcher. Vor kurzem gewann der britische Mathematiker Roger Penrose den Nobelpreis 2020 für Physik für seine Berechnungen, die zeigten, dass Schwarze Löcher reale Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie waren. In einer wegweisenden Arbeit aus dem Jahr 1965 beschrieb Penrose, wie Materie kollabieren und ein Schwarzes Loch mit einer Singularität im Zentrum bilden könnte.

Nur ein paar Jahre zuvor, im Jahr 1963, fand der neuseeländische Mathematiker Roy Kerr eine Lösung für Einsteins Gleichung für ein rotierendes Schwarzes Loch. Dies war ein „Spielveränderer für Schwarze Löcher“, bemerkte Giorgi in einem öffentlichen Vortrag, der auf dem virtuellen Internationalen Mathematikerkongress 2022 gehalten wurde. Rotierende Schwarze Löcher waren viel realistischere astrophysikalische Objekte als die nicht rotierenden Schwarzen Löcher, für die Karl Schwarzschild die Gleichungen gelöst hatte.

„Physiker hatten wirklich jahrzehntelang geglaubt, dass die Region des Schwarzen Lochs ein Artefakt der Symmetrie sei, das in der mathematischen Konstruktion dieses Objekts auftauchte, aber nicht in der realen Welt“, sagte Giorgi in dem Vortrag. Kerrs Lösung half dabei, die Existenz von Schwarzen Löchern nachzuweisen.

In einer fast 1.000-seitigen Veröffentlichung verwendeten Giorgi und Kollegen eine Art „Widerspruchsbeweis“, um zu zeigen, dass schwarze Kerr-Löcher, die sich langsam drehen (was bedeutet, dass sie einen kleinen Drehimpuls im Verhältnis zu ihrer Masse haben), mathematisch stabil sind. Die Technik besteht darin, das Gegenteil der zu beweisenden Aussage anzunehmen und dann eine Inkonsistenz zu entdecken. Das zeigt, dass die Annahme falsch ist. Die Arbeit wird derzeit einem Peer-Review unterzogen. „Es ist ein langes Papier, also wird es einige Zeit dauern“, sagt Giorgi.

Das Ergebnis erstreckt sich noch nicht auf die relativ schnell rotierenden Kerr-Schwarzen Löcher, die auch im Universum bekannt sind.

Obwohl das Ergebnis unsere Sicht auf Schwarze Löcher wahrscheinlich nicht auf den Kopf stellen wird, können solche mathematischen Reisen neue Erkenntnisse liefern.

Das trifft auf Giorgis Studie über Schwarze Löcher mit einer elektrischen Ladung zu, die auch Lösungen für Einsteins Gleichungen sind. Sie hat untersucht, was mit diesen Schwarzen Löchern angesichts von Störungen passiert, die sowohl elektromagnetische Strahlung als auch Gravitationswellen aufweisen. Diese Wellen können schwarze Löcher umgeben, in sie hineinfallen oder aus der Ferne mit ihnen interagieren, sagt sie. Durch diese Arbeit gelangte sie zu einer neuen mathematischen Definition elektromagnetischer Strahlung, die für weitere Forschungen zu geladenen Schwarzen Löchern verwendet werden könnte.

Giorgi hat die Bereiche Physik und Mathematik seit der High School überspannt, als ihr klar wurde, dass „wenn ich Mathe verstehe, kann ich auch Physik machen“. Ihr anhaltendes Interesse an Physik und ihre Anziehungskraft auf die Differentialgeometrie, die sich mit der Geometrie glatter Räume befasst, machten die allgemeine Relativitätstheorie zu einer natürlichen Ergänzung. Aber ihr Spreizen hat dazu geführt, dass einige Kollegen ihre Arbeit missverstanden haben.

Einige Physiker glauben, dass Mathematiker von Schwarzen Löchern Dinge „rigoroser beweisen, als sie es irgendwie schon bewiesen haben, von denen sie überzeugt sind“, sagt Giorgi. Inzwischen betrachten einige Mathematiker ihre Arbeit als „mehr Physik als Mathematik“ – bis sie die Länge ihrer vollständigen mathematischen Beweise sehen.

Giorgi mag die Freiheit, die sie in der Forschung gefunden hat. „Man kann sich aussuchen, was man will“, sagt sie. “Man muss seine eigenen Probleme finden.”